Rabu, 16 Desember 2015

Tiara : MAKALAH MATEMATIKA NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK , KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI

MAKALAH
NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK , KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI
Untuk memenuhi syarat Kuliah Konsep Dasar Matematika
Dosen Pengampu : Dicky Prasetya. M.Pd


Disusun oleh Kelompok 4

1.      Avis Pratama                                 NPM 14 135 0004
2.      Dwi Septiani                                 NPM 14 135 0019
3.      Leni Nuraisah                                NPM 14 135 0031
4.      Tiara Indria Ningrum                    NPM 14 135 0033

Prody               : PGSD
Semester          : III (Tiga) A


SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
Metro 2015








KATA PENGANTAR

Puja dan puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha Esa. Karena dengan limpahan rahmat , taufik , hidayah , inayah dan karunianya saya masih diberikan kesehatan dan kekuatan untuk dapat membuat dan menyusun makalah ini. Makalah disini untuk memenuhi tugas mata kuliah “ Konsep Dasar Matematika” .
Saya sangat menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari sempurna dan masih banyak sekali kesalahan . Saya berharap semoga makalah ini bisa menambah pengetahuan dan menambah wawasan kita semua. Disamping itu saya juga sangat mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun, dengan maksud agar makalah ini bbisa lebih baik lagi untuk yang akan datang. Semoga makalah ini bisa bermanfaat untuk kita semua amin.


                                                               Lampung timur, 19 Oktober 2015



                                                               Penulis










DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL......................................................................................
KATA PENGANTAR...................................................................................
DAFTAR ISI..................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN..............................................................................
1.1  Latar Belakang...............................................................................
1.2 Rumusan Masalah...........................................................................
1.3 Tujuan Pembahasan........................................................................

BAB II PEMBAHASAN...............................................................................
2.1 Pengertian Negasi ..........................................................................
2.2 Pengertian Pernyataan Majemuk....................................................
2.3 Pengertian Implikasi dan Biimplikasi
2.4 Pengertian Konfers, Invers , dan Kontraposisi...............................

BAB III PENUTUP.......................................................................................
3.1 Kesimpulan.....................................................................................

DAFTAR PUSTAKA










BAB I
PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti dan kompetitif.

1.2  Rumusan Masalah
1.      Apa pengertian Negasi ?
2.      Apa pengertian Pernyataan Majemuk?
3.      Apa yang dimaksud implikasi, biimpilasi, konvers, invers dan kontraposisi?

1.3  Tujuan Pembahasan
Agar mahasiswa dapat lebih memahami tentang pengertian negasi dan cara mengerjakannya di dalam pembelajaran matematika, begitupun tentang pengertian pernyataan majemuk dan yang dimaksud konvers, invers dan kontraposisi. Sehingga nantinya dapat di kembangkan dikemudian hari kepada anak didiknya.






BAB II
PEMBAHASAN


2.1 Pengertian Negasi
            Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk) kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “Ingkaran” dari pernyataan itu “Ingkaran” disebut juga “Negasi” atau “Penyangkalan”.
            Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah maka negasinya p benar.

Contoh :
1.      P          : Kayu memuai bila dipanaskan (S)
   ~ P           :Kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2.      P          :3 bilangan positif (B)
~   P           :3 bukan bilangan positif (S)

Nilai kebenaran
Jika p suatu pernyataan bernilai benar, maka ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.
Tabel kebenaran:

P
~P
B
S
S
B


2.2 Pengertian Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung. Pernyataan-pernyataan yang dirangkai masing-masing disebut pernyataan tunggal. Kata penghubung yang dimaksudkan adalah “dan”, “jika... maka... “ dan “jika dan hanya jika” . lambang kata-kata penghubung tersebut dapat dilihat pada daftar berikut:

Lambang(simbol) kata penghubung

Kata penghubung
Lambang
Dan
Atau
Jika – maka
Jika dan hanya jika
˄
˅
=>
<=>

1.      Konjungsi
Contohnya, “7 adalah bilangan prima dan genap”
Pernyataan ini merupakan pernyataan, yaitu “ 7 adalah bilangan prima” dan “ 7 adalah bilangan genap”. Jika pernyataan “7 adalah bilangan prima” diberi lambang “a” dan “7 adalah bilangan genap” diberi lambang “b” maka pernyataan majemuk itu dilambangkan dengan “ a ˄ b ( dibaca a dan b ).
            Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung  “ dan “ (˄) disebut konjungsi. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk tergantung dari nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran dari konjungsi dua pernyataan ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

Konjungsi dua pernyataan a dan b (dituls “a ˄ b” dibaca a dan b”) bernilai B (benar) jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B (benar), sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, “a ˄ b”  bernilai S (salah).

            Dengan memperhatikan bahwa “ satu pernyataan mempunyai dua kemungkinan nilai (B atau S) maka aturan terseut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut:

Nilai kebenaran Konjungsi
a
b
a ˄ b
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S

Contoh
1.         a               :  Jakarta adalah Ibu Kota Negara RI (B)
   b              :  Bandung terletak di pulau Jawa (B)
   a ˄ b       :  Jakarta adalah Ibu Kota Negara RI dan Bandung terletak  di pulau jawa (B)

2.      m               : 8 lebih besar dari 13 (S)
n                : matahari terbit dari Timur (B)
m ˄ n         : 8 lebih besar dari 13 dan matahari terbit dari Timur (S)

            2.Disjungsi
            Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “ atau” (˅) disebut disjungsi. Jika a dan b masing-masing pernyataan maka disjungsi a dan b ditulis “a ˅ b “ dan dibaca “a atau b”.

Misalnya :        a         = Amin pergi kepasar, dan
                         b         = Amin bermain bola
                         a ˅ b   = Amin pergi ke pasar atau Amin bermain bola

            Nilai kebenaran dari disjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya  dengan aturan berikut.

Disjungsi dua pernyataan a dan b ( ditulis “a ˅ b” dan dibaca “a atau b”) bernilai S jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dab b lainnya, “a ˅ b” benilai B.

Nilai Kebenaran Disjungsi
a
B
a ˅ b
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S

Contoh:

1)      a          : Surabaya terletak di provinsi Jawa Timur (B).
b          : Satu minggu terdiri dari tujuh hari (B).       
a ˅ b    : Surabaya terletak di provinsi Jawa Timur atau satu minggu terdiri        dari tujuh hari (B).

2)      u          : 5 adalah bilangan prima (B)
w         : 18 terbagi habis oleh 8 (S)
u ˅ w   : 5 adalah bilangan prima atau 18 teragi habis oleh 8 (B)

3)      P          : Sebuah segitiga mempunyai empat sisi (S)
      q          : Sebuah segi empat mempunyai lima diagonal (S)
p ˅ q    : Sebuah segitiga mempunyai empat sisi atau sebuah segi empat   mempunyai lima diagonal (S)


3.      Negasi dari Konjungsi dan Disjungsi
Konjungsi dan Disjungsi masing-masing merupakan suatu pernyataan . Sehingga negasi dari konjungsi mempunyai makna yang sama dengan negasi suatu pernyataan . Oleh karena itu , nilai kebenaran dari negasi konjungsi dan disjungsi, harus berpandu pada aturan tentang nilai kebenaran dari konjungsi dan disjungsi. Untuk menentukan negasi dari konjungsi dua pernyataan perhatikanlah tabel nilai kebenaran berikut.

Nilai kebenaran Negasi dari Konjungsi.
a
b
~a
~b
a ˄ b
~ (a ˄ b )
~a ˅ ~b
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
Kolom ke
1       
2
3
4
5

Tampak dalam tabel diatas bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom ke-4 sama dengan urutan nilai kebenaran pada kolom ke-5, maka dapat disimpulkan bahwa:
~ (a ˄ b ) = ~ a ˅ ~ b

Negasi dari konjungsi dua pernyataan sama dengan disjungsi dari nagasi masing-masing pernyataan tunggalnya.

            Contoh :
Tentukanlah negasi dari penyataan-pernyataan berikut ini.
1.      Amin pergi ke toko dan Amin membeli buku.
2.      4+5 = 9 dan 9 adalah suatu bilangan prima.
3.      Adi rajin belajar dan Tina tidak lulus Ujian.
4.      7 lebih besar dari 5 dan 6 adalah bilangan komposit.
Jawab:
1.      Amin tidak pergi ke toko atau Amin tidak membeli buku.
2.      4+5= 9 atau 9 bukan suatu bilangan prima.
3.      Adi tidak rajin belajar atau Tina lulus ujian.
4.      7 tidak lebih besar dari 5 atau bukan bilangan komposit.
            Selanjutnya kita akan membicarakan negasi dari disjungsi dua pernyataan.
Misalnya:           a = 8 adalah suatu bilangan prima (S)
            ~a = 8 bukan suatu bilangan prima (B)
  b = 20 terbagi habis oleh 4 (B)
~b = 20 tidak terbagi habis oleh 4 (S)
Maka ,
                        a ˅    b  bernilai  B , maka ~ (a ˄ b) bernilai S.
                      ~a ˅ ~ b  bernilai B , maka ~ (a ˅ b) ≠ ~ a ˅ ~ b.
 ~a ˄ ~ b   bernilai S, dan nilai kebenaran dari ~ (a ˅ b) sama dengan      nilai kebenaran dari ~a ˄ ~b
Kesimpulan ini secara umum akan kita periksa dengan menyusun tabel nilai kebenarannya:

Nilai kebenaran Negasi dari Disjungsi

a
B
~a
~b
a ˅ b
~(a ˅ b)
~a ˄ ~b
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B

~ (a ˅ b) = ~ a ˄ ~ b




Contoh :
Tentukan negasi dari disjungsi pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan pula nilai kebenaran dari negasi tersebut:

1.      Yogyakarta terletak di pulau Bali atau 4 + 7 = 11
2.      8 membagi habis 36 atau 8 lebih besar dari 13
3.      47 adalah suatu bilangan prima atau 7 – 3 = 4
4.      Bendera RI berwarna merah putih atau Bandung adalah Ibu Kota RI
Jawab:
1.      Yogyakarta tidak terletak di pulau Bali dan 4 + 7 ≠ 11 (S)
2.      8 tidak membagi habis bilangan 36 dan 8 tidak lebih dari 13 (B)
3.      47 bukan suatu bilangan prima dan 7 – 3 ≠ 4 (S)
4.      Bendera RI tidak berwarna putih dan Bandung bukan Ibu Kota RI (S)

2.3 Pengertian Implikasi dan Biimplikasi
A. Implikasi
Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan , maka Implikasi adalah dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan implikasi menjadi p => q ( dibaca “ jika p maka q” ) dapat dirumuskan:
p => q ( dibaca “jika p maka q“ ) Implikasi p => q bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar atau jika p dan q keduanya adalah salah untuk kasus lainnya adalah salah.
Definisi ini dapat disimpulkan dengan tabel kebenaran di bawah ini:
p
Q
p => q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B


B. Biimplikasi (  pernyataan bersyarat ganda)
Perhatikan implikasi “a => b” dan konversnya “b => a”. Dibentuk konjungsi antara implikasi dan konversnya tersebut, yaitu:
 (a => b) ˄ (b => a)”. Kita akan menentukan nilai kebenaran konjungsi ini jika diketahui nilai-nilai kebenaran dari a dan b dengan menyusun tabel nilai kebenaran sebagai berikut:
Nilai kebenaran dari konjungsi (a => b) ˄ (b => a)
a
b
a => b
b => a
(a => b)  ˄  (b => a)
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B

Selanjutnya konjungsi “(a => b) ˄ (b => a)” ditulis secara singkat menjadi “a <=> b” (dibaca “ a jika dan hanya jika b”) dan disebut implikasi dari a dan b.

(a => b) ˄ (b => a) = a <=> b

Nilai kebenaran Biimplikasi
a                   
B
a <=> b
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B


2.4 Pengertian Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari suatu implikasi  p => q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
1.         q => p yang disebut konvers dari p => q    
2.      ~ p => ~ q yang disebut Invers dari p => q
3.      ~ q =>  ~ p yang disebut Kontraposisi dari    p => q




BAB III
PENUTUP

Kesimpulan

Pernyataan majemuk merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung.
Implikasi adalah bentuk penggabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “ jika... maka”.
Biimplikasi adalah penggabungan pernyataan a dan b menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “ jika dan hanya jika..” dan  dilambangkan a <=> b
Konvers adalah balikan dari pernyataan implikasi. Invers adalah negasi dari pernyataan implikasi. Kontraposisi adalah balikan dan negasi dari pernyataan implikasi.









DAFTAR PUSTAKA


 Sukirman, dkk. Matematika. UT ( Universitas Terbuka). Tangerang Selatan: 2014