MAKALAH
NEGASI
PERNYATAAN MAJEMUK , KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI
Untuk
memenuhi syarat Kuliah Konsep Dasar Matematika
Dosen
Pengampu : Dicky Prasetya. M.Pd
Disusun
oleh Kelompok 4
1.
Avis Pratama NPM 14 135 0004
2.
Dwi Septiani NPM 14 135 0019
3.
Leni Nuraisah NPM 14 135 0031
4.
Tiara Indria Ningrum NPM 14 135 0033
Prody : PGSD
Semester : III (Tiga) A
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
Metro 2015
KATA
PENGANTAR
Puja dan puji syukur
saya panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha Esa. Karena dengan limpahan rahmat ,
taufik , hidayah , inayah dan karunianya saya masih diberikan kesehatan dan
kekuatan untuk dapat membuat dan menyusun makalah ini. Makalah disini untuk
memenuhi tugas mata kuliah “ Konsep Dasar Matematika” .
Saya sangat menyadari
bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari sempurna dan masih banyak
sekali kesalahan . Saya berharap semoga makalah ini bisa menambah pengetahuan
dan menambah wawasan kita semua. Disamping itu saya juga sangat mengharapkan
kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun, dengan maksud agar makalah
ini bbisa lebih baik lagi untuk yang akan datang. Semoga makalah ini bisa
bermanfaat untuk kita semua amin.
Lampung
timur, 19 Oktober 2015
Penulis
DAFTAR
ISI
HALAMAN
JUDUL......................................................................................
KATA
PENGANTAR...................................................................................
DAFTAR
ISI..................................................................................................
BAB
I PENDAHULUAN..............................................................................
1.1 Latar Belakang...............................................................................
1.1 Latar Belakang...............................................................................
1.2
Rumusan Masalah...........................................................................
1.3
Tujuan Pembahasan........................................................................
BAB
II PEMBAHASAN...............................................................................
2.1
Pengertian Negasi ..........................................................................
2.2
Pengertian Pernyataan Majemuk....................................................
2.3
Pengertian Implikasi dan Biimplikasi
2.4
Pengertian Konfers, Invers , dan Kontraposisi...............................
BAB
III PENUTUP.......................................................................................
3.1
Kesimpulan.....................................................................................
DAFTAR
PUSTAKA
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Matematika merupakan ilmu universal yang
mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai
disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika perlu
diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali
peserta didik dengan kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis,
dan kreatif serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar
peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola dan memanfaatkan
informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti dan
kompetitif.
1.2 Rumusan
Masalah
1.
Apa pengertian Negasi ?
2.
Apa pengertian Pernyataan Majemuk?
3.
Apa yang dimaksud implikasi, biimpilasi,
konvers, invers dan kontraposisi?
1.3 Tujuan
Pembahasan
Agar mahasiswa dapat lebih memahami
tentang pengertian negasi dan cara mengerjakannya di dalam pembelajaran
matematika, begitupun tentang pengertian pernyataan majemuk dan yang dimaksud
konvers, invers dan kontraposisi. Sehingga nantinya dapat di kembangkan
dikemudian hari kepada anak didiknya.
BAB
II
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Negasi
Dari
sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk) kita bisa membuat sebuah pernyataan
baru berupa “Ingkaran” dari pernyataan itu “Ingkaran” disebut juga “Negasi”
atau “Penyangkalan”.
Jika
suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya
pernyataan p salah maka negasinya p benar.
Contoh :
1.
P :
Kayu memuai bila dipanaskan (S)
~ P :Kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
~ P :Kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2.
P :3
bilangan positif (B)
~ P :3 bukan bilangan positif (S)
~ P :3 bukan bilangan positif (S)
Nilai kebenaran
Jika p suatu pernyataan bernilai benar,
maka ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai
benar.
Tabel kebenaran:
P
|
~P
|
B
|
S
|
S
|
B
|
2.2
Pengertian Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan rangkaian
dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung. Pernyataan-pernyataan
yang dirangkai masing-masing disebut pernyataan
tunggal. Kata penghubung yang dimaksudkan adalah “dan”, “jika... maka... “
dan “jika dan hanya jika” . lambang kata-kata penghubung tersebut dapat dilihat
pada daftar berikut:
Lambang(simbol) kata
penghubung
Kata penghubung
|
Lambang
|
Dan
Atau
Jika – maka
Jika dan hanya jika
|
˄
˅
=>
<=>
|
1.
Konjungsi
Contohnya,
“7 adalah bilangan prima dan genap”
Pernyataan
ini merupakan pernyataan, yaitu “ 7 adalah bilangan prima” dan “ 7 adalah
bilangan genap”. Jika pernyataan “7 adalah bilangan prima” diberi lambang “a”
dan “7 adalah bilangan genap” diberi lambang “b” maka pernyataan majemuk itu
dilambangkan dengan “ a ˄ b ( dibaca a dan b ).
Pernyataan majemuk yang hanya
menggunakan kata penghubung “ dan “ (˄)
disebut konjungsi. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk tergantung
dari nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran
dari konjungsi dua pernyataan ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
Konjungsi
dua pernyataan a dan b (dituls “a ˄ b” dibaca a dan b”) bernilai B (benar)
jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B (benar),
sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, “a ˄ b” bernilai S (salah).
|
Dengan memperhatikan bahwa “ satu
pernyataan mempunyai dua kemungkinan nilai (B atau S) maka aturan terseut dapat
dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut:
Nilai
kebenaran Konjungsi
a
|
b
|
a
˄ b
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
Contoh
1. a : Jakarta adalah Ibu Kota Negara RI (B)
b : Bandung terletak di pulau Jawa (B)
a ˄ b :
Jakarta adalah Ibu Kota Negara RI dan
Bandung terletak di
pulau jawa (B)
2. m : 8 lebih besar dari 13 (S)
n :
matahari terbit dari Timur (B)
m ˄ n : 8 lebih besar dari 13 dan matahari terbit dari Timur (S)
2.Disjungsi
Pernyataan
majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “ atau” (˅) disebut disjungsi.
Jika a dan b masing-masing pernyataan maka disjungsi a dan b ditulis “a ˅ b “
dan dibaca “a atau b”.
Misalnya : a = Amin pergi
kepasar, dan
b =
Amin bermain bola
a ˅ b =
Amin pergi ke pasar atau Amin bermain bola
Nilai
kebenaran dari disjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan tunggalnya dengan
aturan berikut.
Disjungsi dua pernyataan a dan b (
ditulis “a ˅ b” dan dibaca “a atau b”) bernilai S jika dan hanya jika dua
pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai
kebenaran a dab b lainnya, “a ˅ b” benilai B.
|
Nilai Kebenaran Disjungsi
a
|
B
|
a ˅ b
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Contoh:
1)
a :
Surabaya terletak di provinsi Jawa Timur (B).
b : Satu minggu terdiri dari tujuh hari
(B).
a
˅ b : Surabaya terletak di provinsi
Jawa Timur atau satu minggu terdiri dari tujuh hari (B).
2)
u :
5 adalah bilangan prima (B)
w : 18 terbagi habis oleh 8 (S)
u
˅ w : 5 adalah bilangan prima atau 18
teragi habis oleh 8 (B)
3)
P :
Sebuah segitiga mempunyai empat sisi (S)
q :
Sebuah segi empat mempunyai lima diagonal (S)
p
˅ q : Sebuah segitiga mempunyai empat
sisi atau sebuah segi empat mempunyai
lima diagonal (S)
3. Negasi
dari Konjungsi dan Disjungsi
Konjungsi dan
Disjungsi masing-masing merupakan suatu pernyataan . Sehingga negasi dari
konjungsi mempunyai makna yang sama dengan negasi suatu pernyataan . Oleh
karena itu , nilai kebenaran dari negasi konjungsi dan disjungsi, harus
berpandu pada aturan tentang nilai kebenaran dari konjungsi dan disjungsi.
Untuk menentukan negasi dari konjungsi dua pernyataan perhatikanlah tabel nilai
kebenaran berikut.
Nilai
kebenaran Negasi dari Konjungsi.
a
|
b
|
~a
|
~b
|
a
˄ b
|
~
(a ˄ b )
|
~a
˅ ~b
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
Kolom
ke
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
Tampak
dalam tabel diatas bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom ke-4 sama dengan
urutan nilai kebenaran pada kolom ke-5, maka dapat disimpulkan bahwa:
~
(a ˄ b ) = ~ a ˅ ~ b
|
Negasi dari konjungsi dua pernyataan
sama dengan disjungsi dari nagasi masing-masing pernyataan tunggalnya.
|
Contoh
:
Tentukanlah negasi dari
penyataan-pernyataan berikut ini.
1. Amin
pergi ke toko dan Amin membeli buku.
2. 4+5
= 9 dan 9 adalah suatu bilangan prima.
3. Adi
rajin belajar dan Tina tidak lulus Ujian.
4. 7
lebih besar dari 5 dan 6 adalah bilangan komposit.
Jawab:
1. Amin
tidak pergi ke toko atau Amin tidak membeli buku.
2. 4+5=
9 atau 9 bukan suatu bilangan prima.
3. Adi
tidak rajin belajar atau Tina lulus ujian.
4. 7
tidak lebih besar dari 5 atau bukan bilangan komposit.
Selanjutnya
kita akan membicarakan negasi dari disjungsi dua pernyataan.
Misalnya: a = 8 adalah suatu
bilangan prima (S)
~a
= 8 bukan suatu bilangan prima (B)
b = 20
terbagi habis oleh 4 (B)
~b = 20 tidak terbagi habis oleh 4 (S)
Maka ,
a ˅ b bernilai
B , maka ~ (a ˄ b) bernilai S.
~a ˅ ~ b
bernilai B , maka ~ (a ˅ b) ≠ ~ a ˅ ~ b.
~a ˄ ~ b bernilai S, dan nilai kebenaran dari ~ (a ˅
b) sama dengan nilai kebenaran dari ~a ˄ ~b
Kesimpulan
ini secara umum akan kita periksa dengan menyusun tabel nilai kebenarannya:
Nilai
kebenaran Negasi dari Disjungsi
a
|
B
|
~a
|
~b
|
a ˅ b
|
~(a ˅ b)
|
~a ˄ ~b
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
~ (a ˅ b) = ~ a ˄ ~ b
|
Contoh :
Tentukan negasi dari disjungsi
pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan pula nilai kebenaran dari negasi
tersebut:
1.
Yogyakarta terletak di pulau Bali atau 4
+ 7 = 11
2.
8 membagi habis 36 atau 8 lebih besar
dari 13
3.
47 adalah suatu bilangan prima atau 7 –
3 = 4
4.
Bendera RI berwarna merah putih atau
Bandung adalah Ibu Kota RI
Jawab:
1.
Yogyakarta tidak terletak di pulau Bali
dan 4 + 7 ≠ 11 (S)
2.
8 tidak membagi habis bilangan 36 dan 8
tidak lebih dari 13 (B)
3.
47 bukan suatu bilangan prima dan 7 – 3
≠ 4 (S)
4.
Bendera RI tidak berwarna putih dan
Bandung bukan Ibu Kota RI (S)
2.3
Pengertian Implikasi dan Biimplikasi
A. Implikasi
Misalkan p dan q adalah
suatu pernyataan , maka Implikasi adalah dua pernyataan p dan q dapat
digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan implikasi menjadi p
=> q ( dibaca “ jika p maka q” ) dapat dirumuskan:
p => q ( dibaca “jika p maka q“ )
Implikasi p => q bernilai benar jika p
dan q keduanya adalah benar atau jika
p dan q keduanya adalah salah untuk kasus lainnya adalah salah.
Definisi ini dapat disimpulkan dengan
tabel kebenaran di bawah ini:
p
|
Q
|
p => q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B. Biimplikasi ( pernyataan bersyarat ganda)
Perhatikan
implikasi “a => b” dan konversnya “b => a”. Dibentuk konjungsi antara
implikasi dan konversnya tersebut, yaitu:
(a => b) ˄ (b => a)”. Kita akan
menentukan nilai kebenaran konjungsi ini jika diketahui nilai-nilai kebenaran
dari a dan b dengan menyusun tabel nilai kebenaran sebagai berikut:
Nilai kebenaran
dari konjungsi (a => b) ˄ (b => a)
a
|
b
|
a => b
|
b => a
|
(a => b) ˄ (b
=> a)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Selanjutnya konjungsi “(a => b) ˄ (b
=> a)” ditulis secara singkat menjadi “a <=> b” (dibaca “ a jika dan
hanya jika b”) dan disebut implikasi dari a dan b.
(a => b) ˄ (b => a) = a
<=> b
|
Nilai kebenaran Biimplikasi
a
|
B
|
a <=> b
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
2.4
Pengertian Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari suatu
implikasi p => q dapat dibentuk
implikasi lain, yaitu:
1.
q => p yang disebut konvers dari p =>
q
2.
~ p => ~ q yang disebut Invers dari p
=> q
3.
~ q => ~ p yang disebut Kontraposisi dari p => q
BAB
III
PENUTUP
Kesimpulan
Pernyataan
majemuk merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih
dengan kata penghubung.
Implikasi
adalah bentuk penggabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “
jika... maka”.
Biimplikasi
adalah penggabungan pernyataan a dan b menjadi pernyataan majemuk yang
menggunakan kata hubung “ jika dan hanya jika..” dan dilambangkan a <=> b
Konvers
adalah balikan dari pernyataan implikasi.
Invers adalah negasi dari pernyataan implikasi. Kontraposisi adalah balikan dan negasi dari pernyataan implikasi.
DAFTAR
PUSTAKA
Sukirman, dkk. Matematika. UT ( Universitas Terbuka). Tangerang Selatan: 2014
